极限思想的辩证思考

摘　要：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。通过极限思想与辨证哲学的紧密联系，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。 
 

　　0 引言。 
　　微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述， 用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。 
　　1 极限思想与辩证哲学的联系。 
　　1.1 极限思想是变与不变的对立统一。 
　　“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。 
　　1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。 
　　过程和结果在哲学上是辩证统一的关系， 在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系， 无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。所以，通过研究曲线上点斜率k 的变化过程得到P 点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。 
　　1.3 极限思想是有限与无限的对立统一。 
　　在辨证法中，有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同， 但二者又有联系， 无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限[2]。例如，在极限式lim n→∞ xn=a 中xn对应数列中的每一项， 这些不同的数值xn既有相对静止性，又有绝对的运动性。数列中的每一项xn和a 都是确定不变的量， 是有限数； 随着n无限增大，有限数xn向a 无限接进，正是这些有限数xn的无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，他们既是对立又是统一的。 
　　1.4 极限思想是近似与精确的对立统一。 
　　近似与精确是对立统一的关系， 在一定条件下可相互转化， 这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。 
　　在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时， 内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确。又如在极限式lim n→∞ xn=a 中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，…，xn反映变量xn无限的变化过程，而a 反映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a 的近似值，并且当n 越大，精确度越高；当n 趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化。因此近似与精确既是对立又是统一的。

1.5 极限思想是量变与质变的对立统一。 
　　在唯物辨证法中， 任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体。质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度， 以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性[3]。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。量变是质变的准备， 量的变化达到一定的度， 就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用[4]。对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性， 在事物量变过程中， 保持事物本身质的稳定性。但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一。 
　　1.6 极限思想是否定与肯定的对立统一。 
　　任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一。单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面， 内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的。随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积， 促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立； 圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积， 而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的， 从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一。 
　　2 极限思想与辨证哲学的研究意义。 
　　在唯物辩证法中，客观事物之间相互影响、相互制约和相互作用的关系无处不在，即使是性质完全不同、矛盾对立的两个事物， 也都有其相互联系的一面。所以，在微积分的学习过程中，不容忽视唯物辩证法普遍联系思想的渗透。辩证思维在数学思维中的渗透和理解，其实质就是按照唯物辩证法的原则，在联系和发展中把握认识对象，在对立统一中认识事物。通过上述分析，极限思想贯穿唯物辨证哲学的范畴，它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一[4]。我们在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维。数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求， 领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维， 是提高学生数学素养、理解数学知识，培养学生数学能力的重要方法和手段[5]。